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有关抽象函数的全面探析

2010-11-15 13:56       作者:刘小燕 刘永铨    http://www.zzyjs.com

摘要:抽象函数是函数中的一类综合性较强的问题。这类问题不仅能考查学生的数学基础知识,更能考查学生的数学综合能力。

关键词:抽象函数;定义域;值域;对称性

抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式,其一般形式为y=f(x),且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。

解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现,在2009年的全国各地高考试题中,抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。

一、抽象函数的定义域

例1已知函数f(x)的定义域为[1,3],求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) (a>0)的定义域。

解析:由由a>0

知只有当0<a<1时,不等式组才有解,具体为{x|1+a<x≤3-a;否则不等式组的解集为空集,这说明当且仅当0<a<1时,g(x)才能是x的函数,且其定义域为(1+a,3-a]。

点评:1.已知f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b,解出x即可得解;2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域即是g(x)在x[a,b]上的值域。

二、抽象函数的值域

解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。

例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1,1]求y=(3x+2)的值域。

解析:因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同,故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1,1]。

三、抽象函数的奇偶性

四、抽象函数的对称性

例3已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数,函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为(   )

A、 2    B、 0     C、  1     D、不能确定

解析:由y=f(2x+1)求得其反函数为y=,∵ y=f(2x+1) 是奇函数,∴y=也是奇函数,∴。∴ , ,而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,∴g(x)+ g(-x)=故选A 。

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