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关于教学用的数学知识研究回顾及启示

2010-11-15 13:56       作者:董涛    http://www.zzyjs.com

论文摘要:教学用的数学知识研究经历了数学知识研究、数学课程知识研究和教学用的数学知识研究三个阶段。教学用的数学知识通过对数学教学的核心活动进行分析,直接研究课堂教学中教师使用的数学知识及其影响。它是有效教学的知识基础,应该成为教师教育的主要内容。

论文关键词:数学;教学;知识;教师教育

一、数学知识研究

传统上认为数学教师至少要掌握他所教的数学知识。班级授课制成熟后,人们开始同意这样一个原则:除了所教的数学知识以外,数学教师还需要掌握像组织教学、控制课堂秩序等一些教学知识。随着教学研究的深入,人们发现教师仅仅知道他所教的数学的术语、概念、命题、法则等知识是不够的。…除此之外,教师还要知道数学的学科结构。学科结构的概念最早源于Schwab。他指出了理解学科结构的两种方式:一个方式是句法性地(syntactically),另一个方式是实体性地(substantively)。所谓句法性地是指从学科所表现出来的逻辑结构方面去了解学科结构。比如,引入无理数表示不可公度线段,引入负数与复数表示某些方程的解。前者可以看到,后者看不到,仅是为了保持方程都有解这个论断的完整性和通用性所做出的一种假设与解释。对这三个概念含义的理解,只能通过产生这些概念的前后联系才能揭示。所谓实体性地是指从学科的概念设计角度去了解学科结构。比如,欧氏几何与解析几何有不同的概念框架。Ball把数学的学科结构知识称为关于数学的知识。它是指知识从哪里来,又是如何发展的,真理是如何确认的,又将用到哪里去。

主要有三个维度:一是约定与逻辑建构的区别。正数在数轴的右边或者我们使用十进位值制都是任意的、约定的。而0做除数没有定义或者任意一个数的零次幂都等于1就不是任意的、约定的;二是数学内部之问的联系以及数学与其他领域之间的联系;三是了解数学领域中的基本活动:寻找模式、提出猜想、证明断言、证实解法和寻求一般化。

对数学知识的研究,拓宽了人们对教学用的数学知识的理解。它显示教学用的数学知识是很复杂的,除了术语、概念、法则、程序之外,还有数学学科结构或者关于数学的知识。这些知识对于教师确定为什么教、选择教什么和怎么教都会产生影响。比如,约定的与逻辑建构的概念的教学策略会有很大的不同,逻辑建构的概念就必须讲清楚它怎么来的,为什么要定义这个概念,怎样定义,它会有什么用,它与其他的概念的关系是怎样的,它的应用有哪些限度。而约定的概念就没有这些必要。但是,有效地数学教学,仅仅具有上述知识还不够。它缺少对学生的考虑,不能给教师提供教授一群特定的学生所必须的教学上的理解。比如,仅仅通过推导知道(+6)=a+2ab+b对有效教学是不够的,教师还需要知道一些学生容易把分配律过度推广而记成+6)=a+b,知道用矩形的面积表征可以有效地消除这一误解。学生误解的知识与消除误解的教学策略显然不能纳入数学知识的框架,教学用的数学知识的复杂性要求更精致的框架来描述。

二、教材分析研究

有效的教学必须考虑学生已有的知识和知识呈现的最佳序列。在数学学科中,马力平的知识包(Knowledgepackage)是国际上较为典型的此类研究。知识包是围绕着一个中心概念而组织起来的一系列相关概念,是在学生的头脑里培育这样一个领域的纵向过程。(n知识包含有三种主要成分:中心概念、概念序列和概念结点,也包括概念的表征、意义和建立在这些概念之上的算法。下例是20以内数的加减法的知识包(图1)。在这个知识包内,中心概念是20至100数的“借位减法”,它是学习多位数的加减的关键前提。

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